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<!DOCTYPE html>

<title>Fraktale Dimension</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Fraktale Dimension</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>In der Mathematik ist die <b>fraktale Dimension</b> einer Menge eine Verallgemeinerung des <a href="Dimension_(Mathematik)" title="Dimension (Mathematik)">Dimensionsbegriffs</a> von geometrischen Objekten wie Kurven (eindimensional) und Flächen (zweidimensional), insbesondere bei <a href="Fraktal" title="Fraktal">Fraktalen</a>. Das Besondere ist, dass die fraktale Dimension keine ganze Zahl sein muss. Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, eine fraktale Dimension zu definieren.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Boxcounting-Dimension">Boxcounting-Dimension</h2></div>

<p>Bei der Boxcounting-Methode überdeckt man die Menge mit einem Gitter der Gitterbreite <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy"></span>. Wenn <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(\varepsilon )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(\varepsilon )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f00ece08176c0cb5df492282936cdc5185331b75.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.956ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(\varepsilon )}" loading="lazy"></span> die Zahl der von der Menge belegten Boxen ist, so ist die Box-Dimension

</p>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/814c384e3500ddba665bd2979655d807242e1a9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:17.792ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle D=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Tatsächlich kann man andere Arten von Überdeckungen (Kreise bzw. Kugeln, sich überschneidende Quadrate etc.) wählen und genauso <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"></span> berechnen, und das Ergebnis ist theoretisch dasselbe, in der numerischen Praxis (wenn man den Limes nicht ausrechnen kann) aber nicht unbedingt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Yardstick-Methode">Yardstick-Methode</h2></div>

<p>Diese Methode eignet sich nur für topologisch eindimensionale Mengen, also für Kurven. Man misst deren Länge durch Abzirkeln. Der Schnittpunkt eines Kreises (bzw. Kugel in einbettender Dimension 3) mit der Kurve ist wiederum der neue Mittelpunkt des nächsten Kreises. So wird die Kurve mit Kreisen des gleichen Radius überdeckt. Mit der Anzahl <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"></span> und dem Radius <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy"></span> dieser Kreise verfährt man weiter wie bei der Boxcounting-Methode. Tatsächlich ist die Yardstick-Methode theoretisch lediglich ein Spezialfall der Boxcounting-Methode.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Minkowski-Dimension">Minkowski-Dimension</h2></div>

<p>Umgibt man eine Menge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"></span> mit einer <i><a href="Theorie_der_endlichen_Kugelpackungen" title="Theorie der endlichen Kugelpackungen">Minkowskiwurst</a></i> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{\varepsilon }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{\varepsilon }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2564fb6803f9beaacb5fbe44dfb92028ca60f48c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.493ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{\varepsilon }}" loading="lazy"></span> der Dicke <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy"></span> und misst deren

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span>-dimensionales Volumen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {vol} (F_{\varepsilon })}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {vol} (F_{\varepsilon })}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d969266df4c17e7361c81c310b12475b0dd40e9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.339ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {vol} (F_{\varepsilon })}" loading="lazy"></span>, so lässt sich damit eine zu der Box-Dimension äquivalente Dimension definieren:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{\varepsilon }=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x-y|<\varepsilon ,y\in F\right\}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3df097b6ec22577df30fbd166af3d56e42a2b533.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.492ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{\varepsilon }=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x-y|<\varepsilon ,y\in F\right\}}" loading="lazy"></span>,</dd>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D=n-\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log \operatorname {vol} (F_{\varepsilon })}{\log \varepsilon }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d62ace37c6a30571e02e65ec6c3faf3525d3015.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:24.41ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle D=n-\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log \operatorname {vol} (F_{\varepsilon })}{\log \varepsilon }}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ähnlichkeits-Dimension"><span id=".C3.84hnlichkeits-Dimension"></span>Ähnlichkeits-Dimension</h2></div>

<p>Mengen, die aus <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"></span> um den Faktor <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon <1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon <1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2d78d118d219da41212022a84a8af05fd137420e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon <1}" loading="lazy"></span> verkleinerten Versionen ihrer selbst bestehen, heißen <a href="Selbst%C3%A4hnlichkeit" title="Selbstähnlichkeit">selbstähnlich</a>. Für diese ist die Ähnlichkeits-Dimension

</p>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D=-{\frac {\log N}{\log \varepsilon }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c0908b59c5ed5941f6623506f4ac321540c8b00.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:13.089ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle D=-{\frac {\log N}{\log \varepsilon }}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>definiert. Man beachte, dass man hier keinen Limes braucht. Durch das Minuszeichen wird erreicht, dass D nicht negativ ist, denn wegen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon <1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon <1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2d78d118d219da41212022a84a8af05fd137420e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon <1}" loading="lazy"></span> ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/128540b80db5e4b291bb5e31fad0e5937b109966.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.442ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \log \varepsilon }" loading="lazy"></span> negativ.

</p><p>Beispiel: Ein Quadrat besteht aus vier Quadraten (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N=4}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N=4}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/513c42064b86e0f691571271623451438315767f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N=4}" loading="lazy"></span>) der halben (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon =1/2}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon =1/2}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6018026f8800d4722329d039a6026e0c92e12297.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.669ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon =1/2}" loading="lazy"></span>) Kantenlänge und hat damit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D=-{\frac {\log 4}{\log(1/2)}}={\frac {\log 4}{\log 2}}=2}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D=-{\frac {\log 4}{\log(1/2)}}={\frac {\log 4}{\log 2}}=2}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4741e697cac2fe74c17b48dc772ca5c354656227.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:28.652ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle D=-{\frac {\log 4}{\log(1/2)}}={\frac {\log 4}{\log 2}}=2}" loading="lazy"></span>, was mit dem vertrauten Dimensionswert übereinstimmt. Allerdings besteht schon ein Kreis nicht aus verkleinerten Kreisen, die Ähnlichkeits-Dimension ist also in diesem Fall nicht definiert. Doch für viele bekannte Fraktale lässt sich die Dimension so bestimmen. Aufgrund der fehlenden Limesbildung ist die Ähnlichkeits-Dimension besonders einfach und ist deshalb oft die einzige für Laien verständliche fraktale Dimension. Diese Methode der Dimensionsberechnung bietet sich insbesondere auch bei <a href="Iteriertes_Funktionensystem" title="Iteriertes Funktionensystem">IFS-Fraktalen</a> an.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Hausdorff-Dimension">Hausdorff-Dimension</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Hausdorff-Dimension" title="Hausdorff-Dimension">Hausdorff-Dimension</a></i></div>

<p>Die Hausdorff-Dimension, oder Hausdorff-Besicovitch-Dimension, benannt nach <a href="Felix_Hausdorff" title="Felix Hausdorff">Felix Hausdorff</a> und <a href="Abram_Samoilowitsch_Besikowitsch" title="Abram Samoilowitsch Besikowitsch">Abram Samoilowitsch Besikowitsch</a>, ist die <a href="Ma%C3%9Ftheorie" title="Maßtheorie">maßtheoretische</a> Definition der fraktalen Dimension. Das <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy"></span>-dimensionale Hausdorffmaß nimmt fast überall entweder den Wert 0 oder den Wert <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \infty }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c26c105004f30c27aa7c2a9c601550a4183b1f21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \infty }" loading="lazy"></span> an. Die Stelle <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s=\dim _{H}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s=\dim _{H}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f6c5e398a6a69613d408cd862da67eed65178ad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.756ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle s=\dim _{H}}" loading="lazy"></span>, an der der Sprung von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \infty }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c26c105004f30c27aa7c2a9c601550a4183b1f21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \infty }" loading="lazy"></span> nach 0 stattfindet, ist die Hausdorff-Dimension.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Natürliche_Fraktale"><span id="Nat.C3.BCrliche_Fraktale"></span>Natürliche Fraktale</h2></div>

<p>Entfernt man sich von der mathematischen Idealisierung und betrachtet Mengen wie Küstenlinien, Mondkrater oder einfach nur digitalisierte Bilder von Fraktalen, so lässt sich wegen der endlichen Auflösung der Grenzwertübergang <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon \to 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon \to 0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0a6823c23666f99317e232cf7d02df6d9c9b7a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.86ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon \to 0}" loading="lazy"></span> nicht mehr durchführen. Man würde stets die Dimension 0 erhalten, weil man eine endliche Menge von Punkten betrachtet. Stattdessen macht man sich die Eigenschaft der <a href="Skaleninvarianz" title="Skaleninvarianz">Skaleninvarianz</a> zunutze und bestimmt die Dimension durch Auftragung von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log N}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54e31347d160d1e54a70f79b23038030f33b6bf0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.422ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \log N}" loading="lazy"></span> gegen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/128540b80db5e4b291bb5e31fad0e5937b109966.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.442ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \log \varepsilon }" loading="lazy"></span> im sogenannten <a href="Doppelt-logarithmische_Auftragung" class="mw-redirect" title="Doppelt-logarithmische Auftragung">Log-Log-Plot</a>. Skaliert <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(\varepsilon )\sim \varepsilon ^{-D}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(\varepsilon )\sim \varepsilon ^{-D}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dd34b2d86bef86c2dc7aa9e397bb31f0ee166fc1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.01ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle N(\varepsilon )\sim \varepsilon ^{-D}}" loading="lazy"></span>, dann weist dieser Plot zumindest im Bereich kleiner <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy"></span>-Werte die Steigung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -D}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0218c5eabebfc8a18e71316dd19f00fddc9f9f5c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:3.732ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -D}" loading="lazy"></span> auf. Ist der Skalierungsbereich hinreichend groß (mehrere Dekaden), so spricht man von <i>natürlichen Fraktalen.</i>

</p><p>Theoretisch äquivalente Definitionen der fraktalen Dimension sind in dieser numerischen Variante nicht mehr gleich. So erweist sich die Yardstick-Dimension meist als größer als die Box-Dimension.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Rényi-Dimensionen_Dq"><span id="R.C3.A9nyi-Dimensionen_Dq"></span>Rényi-Dimensionen <i>D<sub>q</sub></i></h2></div>

<p>Das Besondere der <a href="Alfr%C3%A9d_R%C3%A9nyi" title="Alfréd Rényi">Rényi</a>-Dimensionen ist, dass sie sich nicht auf eine Menge, sondern auf ein <a href="Ma%C3%9F_(Mathematik)" title="Maß (Mathematik)">Maß</a> (bzw. eine Dichte) beziehen. Man kann allerdings auch die Punktdichte einer Menge nehmen. Geht man von der Boxcounting-Methode aus, so zählt nicht nur, ob eine Box besetzt ist oder nicht, sondern auch, wie viel in der Box ist. Der normierte Inhalt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu (B_{i})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu (B_{i})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0318bc60f958b0ec0f84b8fa71693302a9fcc9f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.775ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu (B_{i})}" loading="lazy"></span> der Box wird zur <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"></span>-ten Potenz erhoben und über alle Boxen summiert:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{q}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log \sum _{i}\mu (B_{i})^{q}}{(1-q)\log \varepsilon }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cce327774117ed03c419eb007444c8ac8c85e792.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:24.228ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle D_{q}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log \sum _{i}\mu (B_{i})^{q}}{(1-q)\log \varepsilon }}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q\to 1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec80cb4e51140ce942dc15b9b857f6a5fb203c6d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.846ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle q\to 1}" loading="lazy"></span> liefert die <a href="Regel_von_de_L%E2%80%99Hospital" title="Regel von de L’Hospital">Regel von de L’Hospital</a>:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{1}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\sum _{i}\mu (B_{i})\log \mu (B_{i})}{\log \varepsilon }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b87d9bc3a18f578fe341008b36c1284cdce441c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:29.467ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle D_{1}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\sum _{i}\mu (B_{i})\log \mu (B_{i})}{\log \varepsilon }}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Die Rényi-Dimension zu <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/654c2d5dc1a26e0af36dc0deb5fd252c6178977a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.33ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle q=0}" loading="lazy"></span> ist die normale fraktale Dimension. Die zu <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q=1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/785938d022f0b0b0bf4b3afa5e1cedceab7a3874.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.33ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle q=1}" loading="lazy"></span> heißt auch <i>Informationsdimension</i> und die zu <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q=2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q=2}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26622af6012fb982cab4e9584f57dd4f364233b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.33ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle q=2}" loading="lazy"></span> <i>Korrelationsdimension.</i> Maße, die unterschiedliche Dimensionen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{0}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b943acf3ade50743482c4ee4570ad3de335d90d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.979ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle D_{0}}" loading="lazy"></span> bis <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{q}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{q}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d24168d5deadd2f3c72a87620a84ab16d0aaad96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.913ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle D_{q}}" loading="lazy"></span> haben, heißen auch Multifraktale.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften_und_Zusammenhang_zwischen_den_Dimensionen">Eigenschaften und Zusammenhang zwischen den Dimensionen</h2></div>

<ul><li>Die fraktale Dimension einer Menge ist größer oder gleich der Dimension einer Teilmenge.</li>

<li>Alle fraktalen Dimensionen eines Gegenstandes sind, sofern definiert, überraschend häufig gleich groß. Ansonsten sind Ungleichungen bekannt, so ist beispielsweise die Hausdorff-Dimension stets kleiner oder gleich der Boxcounting-Dimension.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li>

<li>Die fraktale Dimension ist stets größer oder gleich der <a href="Lebesguesche_%C3%9Cberdeckungsdimension" title="Lebesguesche Überdeckungsdimension">topologischen Dimension</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen">Anwendungen</h2></div>

<p>Die fraktale Dimension kann in der <a href="Oberfl%C3%A4chenphysik" title="Oberflächenphysik">Oberflächenphysik</a> zur Charakterisierung von Oberflächen und zur <a href="Klassifizierung" title="Klassifizierung">Klassifizierung</a> und zum Vergleich von Oberflächenstrukturen verwendet werden.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Edward Ott: <cite style="font-style:italic">Chaos in Dynamical Systems</cite>. 2. Auflage. Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-81196-1.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Fraktale+Dimension&rft.au=Edward+Ott&rft.btitle=Chaos+in+Dynamical+Systems&rft.date=2002&rft.edition=2.&rft.genre=book&rft.isbn=0521811961&rft.pub=Cambridge+University+Press" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Markus Bautsch: <i>Rastertunnelmikroskopische Untersuchungen an mit Argon zerstäubten Metallen</i>, Kapitel 2.5: <i>Fraktale Dimension von Oberflächen</i>, Verlag Köster, Berlin (1993), ISBN 3-929937-42-5</span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>